第十五屆“華杯賽”決賽真題A卷答案(小學)

　　填空題。

　　1、173

　　2、19

　　3、425

　　4、5

　　5、223，3

　　6、32

　　7、3

　　8、4

　　二、解答下列各題

　　9、不可以。

　　解：對4×5的長方形黑白間隔染色，共有10黑10白。那5個小正格硬紙板，“L”型會占2黑2白，“Z”型會占2黑2白，“田”型會占2黑2白，“1”型會占2黑2白，“土”型會占1黑3白或3黑1白，這樣總共會占掉9黑11白或11黑9白，與10黑10白矛盾。所以不行。

　　10、28，L/72

　　11、至多7分，至少得5分

　　12、有。

　　解：顯然16424不是質數。對于1163，依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除，發現都不能整除，所以1163是質數。

　　13、670

　　14、36，24，12，15，11

2010年第十五屆華杯賽決賽試題答案與解析（小學組）競賽信息 2010-04-10 12:40:17 閱讀1483 評論30 字號：大中小
第十五屆華羅庚金杯少年隊數學邀請賽決賽試題A（小學組）


一、填空題（每小題10分，共80分）
1.在10個盒子中放乒乓球，每個盒子中的球的個數不能少于11，不能是13，也不能是5的倍數，且彼此不同，那么至少需要 173 個乒乓球。
解：11+12+14+16+17+18+19+21+22+23=173


2.有五種價格分別為2元、5元、8元、11元、14元的禮品以及五種價格分別為1元、3元、5元、7元、9元的包裝盒。一個禮品配一個包裝盒，共有 19 種不同價格。
解：5x5-6=19（9、12、15、11、14、17重復）


3.汽車A從甲站出發開往乙站，同時汽車B、C從乙站出發與A相向而行開往甲站，途中A與B相遇20分鐘后再與C相遇。已知A、B、C的速度分別是每小時90km，80km，60km，那么甲乙兩站的路程是 425 km。
解：AC相遇時，BC間距離為（90+80）x13 =1703
此時B共行進了1703 ÷（80-60）=176 小時，則AB相遇時A、B行進了176 —13 =52 小時，所以總路程為（90+80）x52 =425km


4.將12 、13 、14 、15 、16 、17 和這6個分數的平均值從小到大排列，則這個平均值排在第5位。
解：平均值為223840 ，比較可得。


5.將一個數的各位數字相加得到新的一個數稱為一次操作，經連續若干次這樣的操作后可以變為6的數稱為“好數”，那么不超過2012的“好數”的個數為 223 ，這些“好數”的最大公約數是 3 。
解：“好數”實際上是對于模9同余6的數,因此在1~2012中共有（2012-5）÷9=223個
所有好數都是3的倍數，參照前2個好數6、15可得，最大公約數只能為3.




6.右圖所示的立體圖形由9個棱長為1的立方塊搭成，這個立體圖形的表面積為 32 。
解：從3個方向數出各自的面積為5+6+5=16
則6個面一共為16x2=32


7.數字卡片“3”、“4”、“5”各10張，任意選出8張使它們的數字和事33，則最多有 3 張是卡片“3”。
解：設8張全用3則3x8=24，不足33. 33-24=9
因此要用“4”或“5”來替換“3”顯然盡可能多用“5”更劃算
所以每用一張5可使結果增加2
所以9÷2=4??1
所以用4張5和1張4替換掉5個3，還剩下3個3是最多的情況。


8.若將算式11x2 —13x4 +15x6 —17x8 +?—12007x2008 +12009x2010 的值化為小數，則小數點后第1個數字是 4 。
解：原式的小數部分第一位是4。


二、解答下列各題（每題10分，共40分，要求寫出簡要過程）
9.右圖中有5個由4個1x1的小正方格組成的不同形狀的硬紙板。問能用這5個硬紙板拼成右圖中4x5的長方形嗎？如果能請畫出一種拼法；如果不能請簡述理由。
不可以。
解：對長方形黑白間隔染色，共有10黑10白。那5個小正格硬紙板，“L”型會占2黑2白，“Z”型會占2黑2白，“田”型會占2黑2白，“1”型會占2黑2白，“土”型會占1黑3白或3黑1白，這樣總共會占掉9黑11白或11黑9白，與10黑10白矛盾。所以不行。




10.長度為L的一條木棍，分別用紅、藍、黑線將它等分為8，12和18段，在各劃分線處將木棍鋸開，問一共可以得到多少段？其中最短的一段長是多少？
解：按紅、藍、黑線劃分后的長度分別為原廠的18 、112 、118 則格局容斥原理可得：
[18 ,112 ]=14 ；[18 ,118 ]=12 ；[18 ,112 ,118 ]=12
則可知共可分38-6-4-2=26段，
最短一段：
因為（18 ，112 ，118 ）=172 它們的最大公約數為172
所以最短的一段一定大于172 ，不難組合出18 第一段與118 的第二段之間可截出
18 —218 =18 —19 =172 x2
所以最短為L/72
另：可設L長度為72，把分數轉化為整數更簡便


11.足球隊A，B，C，D進行單循環賽（每兩隊賽一場），每場比賽勝隊得3分，負隊得0分，平局兩隊各得1分，若A，B，C，D隊總分分別是1，4，7，8，請問：E隊至多得幾分？至少得幾分？
至多7分，至少得5分。
解：總共塞了10場，10場中有些是平局，有些是勝負局，而平局時雙方只能得到2分，勝負雙方能得3分。所以要想使E得分最多或最少，也就是要讓總分最多或最少。
總分最多時，平局最少。A最少平1局，B最少平1局，C最少平1局，D最少平2局，由于一場平局被兩支隊伍算了兩次，所以平局數的和必須是偶數，因此E最少平1局，所以E隊最多得7分。
總分最少時，平局最多。A最多平1局，B最多平4局，C最多平1局，D最多平2局，同理平局數的和必須是偶數，因此E最多平4局，但是這樣的情況是不可能達到的，因為B和E與其他四隊都平的話，A、C不可能只平1局。因此E最多平2局，所以E隊最多得5分。



12.華羅庚爺爺出生于1910年11月12日。將這些數字排成一個整數，并且分解成19101112=1163x16424.請問這兩個數1163和16424中有質數嗎？并說明理由。
有。
解：顯然16424不是質數。對于1163，依次用2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31去除，發現都不能整除，所以1163是質數。




三、解答下列各題（每小題15分，共30分，要求寫出詳細過程）
13.右圖中，六邊形ABCDEF的面積是2010平方厘米，已知△ABC △BCD △CDE △DEF △EFA △FAB的面積都等于335平方厘米，6個陰影三角形面積之和為670平方厘米。求六邊形A1B1C1D1E1F1的面積。


670




14.已知兩位自然數虎威能被他的數字之積整除，求出虎威代表的兩位數。


36、24、15、12、11

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