圖形的認識

(1)角

角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，角的內部到兩邊距離相等的點在角平分線上。

(2)相交線與平行線

同角或等角的補角相等，同角或等角的余角相等;

對頂角的性質：對頂角相等

垂線的性質：

①過一點有且只有一條直線與已知直線垂直;

②直線外一點有與直線上各點連結的所有線段中，垂線段最短;

線段垂直平分線定義：過線段的中點并且垂直于線段的直線叫做線段的垂直平分線;

線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線;

平行線的定義：在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線;

平行線的判定：

①同位角相等，兩直線平行;

②內錯角相等，兩直線平行;

③同旁內角互補，兩直線平行;

平行線的特征：

①兩直線平行，同位角相等;

②兩直線平行，內錯角相等;

③兩直線平行，同旁內角互補;

平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線。

(3)三角形

三角形的三邊關系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊;

三角形的內角和定理：三角形的三個內角的和等于;

三角形的外角和定理：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個的和;

三角形的外角和定理推理：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角;

三角形的三條角平分線交于一點(內心);

三角形的三邊的垂直平分線交于一點(外心);

三角形中位線定理：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半;

全等三角形的判定：

①邊角邊公理(SAS)

②角邊角公理(ASA)

③角角邊定理(AAS)

④邊邊邊公理(SSS)

⑤斜邊、直角邊公理(HL)

等腰三角形的性質：

①等腰三角形的兩個底角相等;

②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(三線合一)

等腰三角形的判定：

有兩個角相等的三角形是等腰三角形;

直角三角形的性質：

①直角三角形的兩個銳角互為余角;

②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;

③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理);

④直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半;

直角三角形的判定：

①有兩個角互余的三角形是直角三角形;

②如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系，那么這個三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理)。

(4)四邊形

多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于(n3，n是正整數);

平行四邊形的性質：

①平行四邊形的對邊相等;

②平行四邊形的對角相等;

③平行四邊形的對角線互相平分;

平行四邊形的判定：

①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;

③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;

④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

矩形的性質：(除具有平行四邊形所有性質外)

①矩形的四個角都是直角;

②矩形的對角線相等;

矩形的判定：

①有三個角是直角的四邊形是矩形;

②對角線相等的平行四邊形是矩形;

菱形的特征：(除具有平行四邊形所有性質外

①菱形的四邊相等;

②菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角;

菱形的判定：

四邊相等的四邊形是菱形;

正方形的特征：

①正方形的四邊相等;

②正方形的四個角都是直角;

③正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角;

正方形的判定：

①有一個角是直角的菱形是正方形;

②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

等腰梯形的特征:

①等腰梯形同一底邊上的兩個內角相等

②等腰梯形的兩條對角線相等。

等腰梯形的判定：

①同一底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形;

②兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。

平面圖形的鑲嵌：

任意一個三角形、四邊形或正六邊形可以鑲嵌平面;

(5)圓

點與圓的位置關系(設圓的半徑為r，點P到圓心O的距離為d)：

①點P在圓上，則d=r，反之也成立;

②點P在圓內，則dr，反之也成立;

③點P在圓外，則dr，反之也成立;

圓心角、弦和弧三者之間的關系：在同圓或等圓中，圓心角、弦和弧三者之間只要有一組相等，可以得到另外兩組也相等;

圓的確定：不在一直線上的三個點確定一個圓;

垂徑定理(及垂徑定理的推論)：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧;

平行弦夾等弧：圓的兩條平行弦所夾的弧相等;

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對弧的度數;

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理及推論：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦的弦心距相等;

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等;

圓周角定理：圓周角的度數等于它所對的弧的度數的一半;

圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，反過來，的圓周角所對的弦是直徑;

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;

切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑;

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，這一點到兩切點的線段相等，它與圓心的連線平分兩切線的夾角;

(6)尺規作圖(基本作圖、利用基本圖形作三角形和圓)

作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角;作已知角的平分線;作線段的垂直平分線;過一點作已知直線的垂線;

(7)視圖與投影

畫基本幾何體(直棱柱、圓柱、圓錐、球)的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖);

基本幾何體的展開圖(除球外)、根據展開圖判斷和設別立體模型;

2.圖形與變換

圖形的軸對稱

軸對稱的基本性質：對應點所連的線段被對稱軸平分;

等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓是軸對稱圖形;

圖形的平移

圖形平移的基本性質：對應點的連線平行且相等;

圖形的旋轉

圖形旋轉的基本性質：對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等;

平行四邊形、矩形、菱形、正多邊形(邊數是偶數)、圓是中心對稱圖形;

圖形的相似

相似三角形的設別方法：①兩組角對應相等;②兩邊對應成比例且夾角對應相等;③三邊對應成比例

相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等;②相似三角形的對應邊成比例;③相似三角形的周長之比等于相似比;④相似三角形的面積比等于相似比的平方;

相似多邊形的性質：

①相似多邊形的對應角相等;②相似多邊形的對應邊成比例;

③相似多邊形的面積之比等于相似比的平方;

圖形的位似與圖形相似的關系：兩個圖形相似不一定是位似圖形，兩個位似圖形一定是相似圖形;

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