三角函數萬能公式證明

由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

得 (sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBcosC=0

轉化 1-(cosA)^2+1-(cosB)^2-[1-(cosC)^2]-2sinAsinBcosC=0

即 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2sinAsinBcosC-1=0

又 cos(C)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

得 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2cosC[cos(C)+cosAcosB]-1=0

(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

得證

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

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