線、角、相交線、平行線

規律1

如果平面上有n(n≥2)個點，其中任何三點都不在同一直線上，那么每兩點畫一條直線，一共可以畫出n(n-1)條。

規律2

平面上的n條直線最多可把平面分成〔n(n+1)+1〕個部分。

規律3

如果一條直線上有n個點，那么在這個圖形中共有線段的條數為n(n-1)條。

規律4

線段(或延長線)上任一點分線段為兩段，這兩條線段的中點的距離等于線段長的一半。

規律5

有公共端點的n條射線所構成的交點的個數一共有n(n-1)個。

規律6

如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成小于平角的角共有2n(n-1)個。

規律7

如果平面內有n條直線都經過同一點，則可構成n(n-1)對對頂角。

規律8

平面上若有n(n≥3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形一共可作出n(n-1)(n-2)個。

規律9

互為鄰補角的兩個角平分線所成的角的度數為90°。

規律10

平面上有n條直線相交，最多交點的個數為n(n-1)個。

規律11

互為補角中較小角的余角等于這兩個互為補角的角的差的一半。

規律12

當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內錯角的角平分線互相平行，同旁內角的角平分線互相垂直。

規律13

已知AB∥DE,如圖⑴～⑹,規律如下：

規律14

成“8”字形的兩個三角形的一對內角平分線相交所成的角等于另兩個內角和的一半。

三角形部分

規律15

在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊構造三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再利用三邊關系定理及不等式性質證題。

注意：利用三角形三邊關系定理及推論證題時，常通過引輔助線，把求證的量(或與求證有關的量)移到同一個或幾個三角形中去然后再證題。

規律16

三角形的一個內角平分線與一個外角平分線相交所成的銳角，等于第三個內角的一半。

規律17

三角形的兩個內角平分線相交所成的鈍角等于90o加上第三個內角的一半。

規律18

三角形的兩個外角平分線相交所成的銳角等于90o減去第三個內角的一半。

規律19

從三角形的一個頂點作高線和角平分線，它們所夾的角等于三角形另外兩個角差(的絕對值)的一半。

注意：同學們在學習幾何時，可以把自己證完的題進行適當變換，從而使自己通過解一道題掌握一類題，提高自己舉一反三、靈活應變的能力。

規律20

在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題。

規律21

有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形。

規律22

有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形。

規律23

在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形。

規律24

截長補短作輔助線的方法

截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段;

補短法：延長較短線段和較長線段相等.

這兩種方法統稱截長補短法。

當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：

①a>b

②a±b= c

③a±b= c±d

規律25

證明兩條線段相等的步驟：

①觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。

②若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等。

③如果沒有相等的線段代換，可設法作輔助線構造全等三角形。

規律26

在一個圖形中，有多個垂直關系時，常用同角(等角)的余角相等來證明兩個角相等。

規律27

三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等。

規律28

條件不足時延長已知邊構造三角形。

規律29

連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題。

規律30

有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。可歸結為“角分垂等腰歸”。

規律31

當證題有困難時，可結合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構造全等三角形。

規律32

當證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件。

規律33

有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題。

規律34

有等腰三角形時常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

⑵有底邊中點時，常作底邊中線

⑶將腰延長一倍，構造直角三角形解題

⑷常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線

⑸常過一腰上的某一已知點做底的平行線

⑹常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形------等邊三角形

規律35

有二倍角時常用的輔助線

⑴構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

⑵平分二倍角

⑶加倍小角

規律36

有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來。

規律37

有垂直時常構造垂直平分線。

規律38

有中點時常構造垂直平分線。

規律39

當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題。

規律40

條件中出現特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中。

四邊形部分

規律41

平行四邊形的兩鄰邊之和等于平行四邊形周長的一半。

規律42

平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形周長之差等于鄰邊之差。

規律43

有平行線時常作平行線構造平行四邊形。

規律44

有以平行四邊形一邊中點為端點的線段時常延長此線段。

規律45

平行四邊形對角線的交點到一組對邊距離相等。

規律46

平行四邊形一邊(或這邊所在的直線)上的任意一點與對邊的兩個端點的連線所構成的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半。

規律47

平行四邊形內任意一點與四個頂點的連線所構成的四個三角形中，不相鄰的兩個三角形的面積之和等于平行四邊形面積的一半。

規律48

任意一點與同一平面內的矩形各點的連線中，不相鄰的兩條線段的平方和相等。

規律49

平行四邊形四個內角平分線所圍成的四邊形為矩形。

規律50

有垂直時可作垂線構造矩形或平行線。

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