典型例題7：難度★★★

應用整式知識解答下列問題:

(1)任意寫出一個三位數,然后把這個三位數的百位數字和個位數字交換位置,得到另一個三位數,求證:這兩個三位數的差總能被99整除;

(2)一個三位數,將它的各位數字分別按從大到小和從小到大的順序重新排列,把所得到的兩個三位數相減,若差等于原來的三位數,則稱這個三位數為克隆數.求出所有的三位克隆數.

【答案解析】

【解題思路】

(1)設這個三位數的百位、十位、個位數字分別為a、b、c，然后根據題意列式求解.

(2)復雜題目中可采用列舉逐一排除的“笨”方法.

【答案解析】

(1)設這個三位數的百位、十位、個位數字分別為a、b、c,則這個三位可以表示為100a+10b+c,交換a、c位置后的新三位數可以表示為100c+10b+a,這兩數之差為:(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a—99c=99(a-c),所以這兩個三位數的差總能被99整除.

(2)由(1)可知克隆數必是99的倍數,三位數中,99的倍數共有9個: 198、297、396、495、594、693、792、891、990.經逐—檢驗,符合題意的三位克隆數只有495.

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