有理數(shù)的概念

一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)本節(jié)知識點比較多，同學(xué)們要認(rèn)真學(xué)習(xí)并加以總結(jié)，用自己的語言來理解部分知識是有助于我們記憶的。對于本節(jié)的知識如果一時記不住也不要急，畢竟我們才剛剛進入初級數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。

二、知識要點1、正數(shù)和負(fù)數(shù)(1)、大于0的數(shù)叫做正數(shù)。(2)、在正數(shù)前面加上負(fù)號“-”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。(3)、數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界。(4)、在同一個問題中，分別用正數(shù)與負(fù)數(shù)表示的量具有相反的意義。

2、有理數(shù)(1)凡能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)，都是有理數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù).注意：0即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù);-a不一定是負(fù)數(shù)，如：-(-2)=4，這個時候的a=-2。p不是有理數(shù);(2)有理數(shù)的分類:

(3)

3、數(shù)軸【重點】

(1)、用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸。它滿足以下要求：① 在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點;② 通常規(guī)定直線上從原點向右(或上)為正方向，從原點向左(或下)為負(fù)方向;③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1,2,3…;從原點向左，用類似的方法依次表示-1,-2，-3…(2)、數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度。(3)、畫數(shù)軸的步驟：一畫(畫一條直線并選取原點);二取(取正反向);三選(選取單位長度);四標(biāo)(標(biāo)數(shù)字)。數(shù)軸的規(guī)范畫法：是條直線，數(shù)字在下，字母在上。注意：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)字上的點表示，但是數(shù)軸上的所有點并不都表示有理數(shù)。(4)、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度;表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

4、相反數(shù)

(1)、只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。① 注意：a的相反數(shù)是-a;a-b的相反數(shù)是b-a;a+b的相反數(shù)是-(a+b)=-a-b;② 非零數(shù)的相反數(shù)的商為-1; ③ 相反數(shù)的絕對值相等。(2)、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分別在原點的兩側(cè)，表示a和-a，我們說這兩點關(guān)于原點對稱。(3)、a和-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0。(4)、在任意一個數(shù)前面添上“-”號，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。(5)、若兩個數(shù)a、b互為相反數(shù)，就可以得到a+b=0;反過來若a+b=0，則a、b互為相反數(shù)。(6)、多重符號的相乘由“-”的個數(shù)來定：若“-”的個數(shù)為偶數(shù)，相乘結(jié)果為正數(shù);若“-“的個數(shù)為奇數(shù)，化簡結(jié)果為負(fù)數(shù)。比如：-2×4×(-3)×(-1)×(-5)，首先由4個負(fù)號，所以最終結(jié)果是正數(shù)，再算數(shù)字相乘得到120

5、絕對值(1)、絕對值的定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕對值記作|a|。(2)、正數(shù)的絕對值等于它本身;0的絕對值是0(或者說0的絕對值是它本身，或者說0的絕對值是它的相反數(shù));負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù);(注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表示某數(shù)的點離開原點的距離;)。0是絕對值最小的數(shù)。

(5)、任何數(shù)的絕對值總是非負(fù)數(shù)(非負(fù)數(shù)是正數(shù)或0)，即|a|≥0。(6)、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。絕對值相等的兩個數(shù)可能是互為相反數(shù)或者相等。(7)、有理數(shù)比大小：① 正數(shù)比0大，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù);② 兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小;③ 數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;(8)、比較兩個負(fù)數(shù)的大小的步驟如下：①先求出兩個數(shù)負(fù)數(shù)的絕對值;②比較兩個絕對值的大小;③根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。三、經(jīng)驗之談：本節(jié)我們要理解很多的名詞概念，希望同學(xué)們多讀幾遍。其次我們還要重點理解正數(shù)和負(fù)數(shù)的關(guān)系，以及對絕對值幾何意義，還有數(shù)軸的畫法。總之本節(jié)我們要認(rèn)真學(xué)習(xí)。

有理數(shù)的運算

一、本節(jié)學(xué)習(xí)指導(dǎo)有理數(shù)的運算和我們小學(xué)學(xué)習(xí)的四則運算很相似，運算規(guī)律都一樣，不同的是有負(fù)數(shù)參與，所以相對要復(fù)雜一些，本節(jié)要多加練習(xí)。本節(jié)有配套學(xué)習(xí)視頻。二、知識要點1、有理數(shù)的加法(1)、有理數(shù)加法法則：① 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加;② 異號兩數(shù)相加，取絕對值較大加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值;③ 一個數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).(2)、加法計算步驟：先定符號，再算絕對值。(3)、有理數(shù)加法的運算律：① 加法的交換律：a+b=b+a;② 加法的結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).(4)、為了計算簡便 ，往往會采取以下方法：①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加;②符號相同的數(shù)，可以先相加;③分母相同的數(shù)，可以先相加;④幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。2、有理數(shù)的減法(1)、有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù);即a-b=a+(-b).(有理數(shù)減法運算時注意兩“變”：①減法變加法;②把減數(shù)變?yōu)樗�的相反�?shù).)注：有理數(shù)的減法實質(zhì)就是把減法變加法。3、有理數(shù)的乘法(1)、有理數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘;②任何數(shù)同零相乘都得零;(2)、一個數(shù)同1相乘，結(jié)果是原數(shù);一個數(shù)同-1相乘，結(jié)果是原數(shù)的相反數(shù)。(3)、乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù);注意：0沒有倒數(shù);若ab=1<====>a、b互為倒數(shù)。(4)、幾個不是偶的數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因式的個數(shù)決定。負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)是，積是負(fù)數(shù)。(5)、有理數(shù)乘法的運算律：① 乘法的交換律：ab=ba;② 乘法的結(jié)合律：(ab)c=a(bc);③ 乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.4、有理數(shù)的除法(1)、有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。(2)、有理數(shù)除法符號法則：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。(3)、乘除混合運算的步驟：①先把除法轉(zhuǎn)化為乘法;②確定積的符號;③運用乘法運算律和乘法法則進行計算得出結(jié)果。5、有理數(shù)的乘方(1)、求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。(2)、an表示的意義是n個a相乘。如：2³=2×2×2=8(3)、分?jǐn)?shù)的乘方，在書寫時一定要把整個分?jǐn)?shù)用小括號括起來。如：(1/2)²(4)、負(fù)數(shù)的乘方，在書寫時一定要把整個負(fù)數(shù)(連同負(fù)號)用小括號括起來。(5)、10的幾次方，冪的結(jié)果中1后面就有幾個0。如：105=100000(6)、負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。1的任何次冪都是1。-1的奇數(shù)次冪是-1，-1的偶數(shù)次冪是1。

6、科學(xué)記數(shù)法(1)、把一個大于10數(shù)表示成a×10n的形式(其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，而且1≤︱a︱<10，n是正整數(shù))，使用的是科學(xué)計數(shù)法。(2)、用科學(xué)記數(shù)法表示一個n位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n-1。例：240 000 000用科學(xué)計數(shù)法記為2.4×108

7、近似數(shù)(1)、接近實際數(shù)字，但是與實際數(shù)字還是有差別，這個數(shù)是一個近似數(shù)。(2)、精確度：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度可以用精確度表示。(3)、利用四舍五入法得到的近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。(4)、從一個數(shù)的左邊的第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。(5)、解題技巧：①近似數(shù)精確到哪一位，只需看這個數(shù)的最末一位在原數(shù)的哪一位。②當(dāng)四舍五入到十位或十位以上時，應(yīng)先用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)，再按要求取近似數(shù)。(6)、a×10n中有效數(shù)字是指a的有效數(shù)字。7、等于本身的數(shù)匯總：① 相反數(shù)等于本身的數(shù)：0 ② 倒數(shù)等于本身的數(shù)：1，-1③ 絕對值等于本身的數(shù)：正數(shù)和0④ 平方等于本身的數(shù)：0,1

⑤ 立方等于本身的數(shù)：0,1，-1.

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