最小公倍數(shù)的性質(zhì)：

　　1、兩個數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。

　　2、兩個數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

　　求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法

　　17、數(shù)的整除

　　基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數(shù)a，除以一個自然數(shù)b，得到一個整數(shù)商c，而且沒有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“ ”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；

　　整除判斷方法：

　　1.能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。

　　2.能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。

　　3.能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。

　　4.能被3、9整除：各個數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。

　　5.能被7整除：

　　①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。

　　6.能被11整除：

　　①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。

　　②奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。

　　7.能被13整除：

　　①末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。

　　整除的性質(zhì)：

　　1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2.如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。

　　3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。

　　18、余數(shù)及其應用

　　基本概念：

　　對任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0
　　余數(shù)的性質(zhì)：

　　①余數(shù)小于除數(shù)。

　　②若a、b除以c的余數(shù)相同，則c|a-b或c|b-a。

　　③a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加上b除以c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。

　　④a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。

　　19、余數(shù)、同余與周期

　　同余的定義：

　　①若兩個整數(shù)a、b除以m的余數(shù)相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數(shù)a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　同余的性質(zhì)：

　　①自身性：a≡a(mod m)；

　　②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

　　③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數(shù)c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

　　關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b

　　②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md

　　被3、9、11除后的余數(shù)特征：

　　①一個自然數(shù)M，n表示M的各個數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一個自然數(shù)M，X表示M的各個奇數(shù)位上數(shù)字的和，Y表示M的各個偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　費爾馬小定理：

　　如果p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），a是自然數(shù)，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。

　　20、分數(shù)與百分數(shù)的應用

　　基本概念與性質(zhì)：

　　分數(shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。

　　分數(shù)的性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘以或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變。

　　分數(shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。

　　百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)。

　　常用方法：

　　①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

　　②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

　　③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數(shù)關系；把不同的標準（在分數(shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　　④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調(diào)整，求出最后結果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

　　⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關系單一化、量率關系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

　　21、分數(shù)大小的比較

　　基本方法：

　　①通分分子法：使所有分數(shù)的分子相同，根據(jù)同分子分數(shù)大小和分母的關系比較。

　　②通分分母法：使所有分數(shù)的分母相同，根據(jù)同分母分數(shù)大小和分子的關系比較。

　　③基準數(shù)法：確定一個標準，使所有的分數(shù)都和它進行比較。

　　④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數(shù)值越大。

　　⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數(shù)的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關系比較分數(shù)的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

　　⑥轉化比較方法：把所有分數(shù)轉化成小數(shù)（求出分數(shù)的值）后進行比較。

　　⑦倍數(shù)比較法：用一個數(shù)除以另一個數(shù)，結果得數(shù)和1進行比較。

　　⑧大小比較法：用一個分數(shù)減去另一個分數(shù)，得出的數(shù)和0比較。

　　⑨倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。

　　⑩基準數(shù)比較法：確定一個基準數(shù)，每一個數(shù)與基準數(shù)比較。

　　22、分數(shù)拆分

　　將一個分數(shù)單位分解成兩個分數(shù)之和的公式

　　23、完全平方數(shù)

　　完全平方數(shù)特征：

　　1.末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

　　2.除以3余0或余1；反之不成立。

　　3.除以4余0或余1；反之不成立。

　　4.約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)；反之成立。

　　5.奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。

　　6.奇數(shù)平方個位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個位數(shù)字是偶數(shù)。

　　7.兩個相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。

　　平方差公式：

　　X2-Y2=（X-Y）（X+Y）

　　完全平方和公式：

　　（X+Y）2=X2+2XY+Y2

　　完全平方差公式：

　　（X-Y）2=X2-2XY+Y2

　　24、比和比例

　　比：

　　兩個數(shù)相除又叫兩個數(shù)的比。比號前面的數(shù)叫比的前項，比號后面的數(shù)叫比的后項。

　　比值：

　　比的前項除以后項的商，叫做比值。

　　比的性質(zhì)：

　　比的前項和后項同時乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。

　　比例：

　　表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

　　比例的性質(zhì)：

　　兩個外項積等于兩個內(nèi)項積(交叉相乘)，ad=bc。

　　正比例：

　　若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

　　反比例：

　　若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

　　比例尺：

　　圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

　　按比例分配：

　　把幾個數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。

　　25、綜合行程

　　基本概念：

　　行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系.

　　基本公式：

　　路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間

　　關鍵問題：

　　確定運動過程中的位置和方向。

　　相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

　　追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）

　　流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間

　　逆水行程=（船速-水速）×逆水時間

　　順水速度=船速+水速

　　逆水速度=船速-水速

　　靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2

　　水 速=（順水速度-逆水速度）÷2

　　流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

　　過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

　　主要方法：畫線段圖法

　　基本題型：

　　已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。

　　26、工程問題

　　基本公式：

　　①工作總量=工作效率×工作時間

　　②工作效率=工作總量÷工作時間

　　③工作時間=工作總量÷工作效率

　　基本思路：

　　①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

　　②假設一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

　　關鍵問題：

　　確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

　　27、邏輯推理

　　條件分析—假設法：

　　假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。

　　條件分析—列表法：

　　當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象與情況，觀察表格內(nèi)的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

　　條件分析—圖表法：

　　當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

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